Question

△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在同侧作等边三角形ABD,BCF,ACE

探究下列问题
当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是矩形
当△ABC满足______条件时，四边形DAEF是菱形
当△ABC满足______条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

Answer 1

如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形

首先我们来证明DAEF为平行四边形

角DBF=60度-角FBA=角ABC

而DB=AB, BF=BC

三角形DBF全等于三角形ABC

所以:DF=AC=AE

同理可证:DA=FE

所以:DAEF为平行四边形

(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形

则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度

(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC<90度)

(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形

则必须:AB=AC

(3)如果:角BAC=60度

则:角DAE=3*60度=180度

D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在

据此,(2)的结论应稍加改变为:

当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形

Answer 2

如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC 而DB=AB, BF=BC 三角形DBF全等于三角形ABC 所以:DF=AC=AE 同理可证:DA=FE 所以:DAEF为平行四边形 (1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度 (而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC>90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC<90度) (2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形则必须:AB=AC (3)如果:角BAC=60度则:角DAE=3*60度=180度 D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在 据此,(2)的结论应稍加改变为: 当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形