Question

定积分应用问题 旋转体体积 绕非轴直线

像是f(x)绕x旋转就是积分πf(x)^2dx
绕y旋转就是积分2πxf(x)
那如果绕x=a
以及绕y=b呢？

Answer 1

这种最好用图来解释！说出来真的很麻烦！~~~~~
旋转法的基础是它在这个图像的范围内形成一个有代表性的立体图形， 通过把x+dx 里面的 dx 趋近于无限小， 我们可以把这个图形分成 无穷 个这样的小立体图形， 然后通过计算他们体积的和来无限的趋近于该图形的真正体积。
这么说吧， 当你f（x）转x轴的时候， 形成的什么图形？ 是一个圆盘似的图形对吧？ 所以它的体积是 (x^2 pi) dx, dx 是厚度， x是半径。 当然， 要更准确的话就要写 Sigma (n1, n2) x^2*pi*dx, 对吧？这样就可以写成定向积分了。
那么如果这个圆盘不转x而围绕着x= a转呢？ 你想象一下会出现什么情况。
这样的话， 图形的体积就变了一个类似圆柱体的图形， 该图形的体积：
[(a-x)^2 - (a-x-dx)^2 ]pi*y , 对吧？(整个圆形的面积 - 内部圆形体的面积 ）乘以 高度， 高度 = f(x) = y, 因为你要的面积是那一条旋转所产生的面积， 不是整个圆柱体的！
这样的话， 简化： （a-x+a-x-dx) (a-x-a+x+dx)
= (2a - 2x - dx)dx pi
由于 dx ^2 已经可以视为无穷小了， 故 = 0
所以， 这个圆柱体的体积就是
2pi (a-x) y dx
而整和体积(n1 到 n2)就是:
Sigma (n1, n2) 2pi (a-x) y dx
也就是 积分号（n1, n2) 2pi (a-x) y dx

对于绕 y =b 也是一样的原理！ 你自己可以推导一下试试
明白了么？ 不明白MSN上给你图解， jsong6688@hotmail.com