Question

一道关于数列的压轴题~

数列 An 为各项均为正数的非常数等差数列 A1=1 从该数列中依次抽出无穷项构成等比数列Bn 已知 B1=A1 B2=A3 B4=A27

1、设Sn=∑（1/An） Tn=∑（2/Bn） 是否存在正整数m 使 Sm＞Tn 对一切n∈N 恒成立 说明理由

2、求使{（6An-3）Bn/（An*A(n+1)）} 的前n项Pn大于2008的最小自然数n

急求过程~~~
回2楼~是6倍的An项减3?

Answer 1

1.
b1=a1=1
b2=q*1=a3=1+2d
b4=q^3*1=a27=1+26d
q^3=(1+2d)^3=1+26d
化简得d*(2d+5)(d-1)=0因为d<>0且An恒正，所以d=1，q=3
An=n，Bn=3^(n-1)
Sm=∑(1/m)=+∞,Tn=∑2/3^(n-1)=3,所以存在m=19（估算的，实际值在+-2之内，总之存在）

2.
题目是这个意思么：(6An-3)*Bn/(An*A(n+1))?
Pn= 2(6n-3)*3^(n-1)/n(n+1)= 2(2n-1)*3^n/n(n+1)
取对数，估算一下解得n=9

Answer 2

(1)设等差数列An 的公差为d，由B1=A1=1 ，B2=A3=1+2d，B4=(1+d)^3=1+26d=A27
故得d^3+3d^2+3d+1=1+26d
d^3+3d^2-23d=0, d^2+3d-23=0,解得d=(-3+√101)/2=3.52...
Sn=∑(1/An）=1/A1+1/A2+1/A3+…+ 1/An
=1+1/(1+d)+1/(1+2d)+…+ 1/(1+(n-1)d)
Tn=∑(2/Bn）=2/B1+2/B2+2/B3+…+ 2/Bn
=∑(2/Bn）=2+2/(1+d)+2/(1+d)^2+…+ 2/(1+d)^(n-1)
=2(1+d)((1+d)^(-n)-1)/d<2/(1-1/(d+1))=2(d+1)/d
由不等式1/x+1/y>=4/(x+y)可得
Sn=1+1/(1+d)+1/(1+2d)+…+ 1/(1+(n-1)d)>1+2(n-1)/(nd+2)
由Sn＞所有的Tn项,则有
1+2(n-1)/(nd+2)>2(d+1)/d,当趋于无穷时,右边的极限为3,而左边小于2.6的数,
故存在正整数m使 Sm＞Tn 对一切n∈N 恒成立.
第2题在考虑,Pn是前n项和,还是第n项?6An-3是6倍的n-3项,还是6倍的n项减3?

Answer 3

题算出来啦，明天再给你写步骤吧。