Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有f(a)+f(b)a

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+1)＜f(1x?1)；（3）若f（x）≤m2-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常数），试用常数p表示实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）在[-1，1]上是增函数，
证明如下：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
于是有

f(x1)?f(x2)

x1?x2

＝

f(x1)+f(?x2)

x1+(?x2)

＞0，
而x₁-x₂＜0，故f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在[-1，1]上是增函数；（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：

?1≤x+1≤1 ?1≤ 1 x?1 ≤1 x+1＜ 1 x?1

?

?2≤x≤0 x≥2，或x≤0 x＜? 2 ，或1＜x＜ 2

??2≤x＜?

2

，
故不等