Question

已知函数f（x）= 1 2 x 2 -alnx(a＞0) （Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，

已知函数f（x）= 1 2 x 2 -alnx(a＞0) （Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x- a x = x 2 -a x 由f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，则f′（2）= 4-a 2 = 3 2 ，a=1…．（4分） 此时f（x）= 1 2 x 2 -lnx，f′（x）= x 2 -1 x 令f′（x）=0得x=1 f（x）与f′（x）的情况如下： x （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） - 0 + f（x） ↘ 1 2 ↗ 所以，f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）…（7分） （II）由f′（x）= x 2 -a x 由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0得x= a ①若 a ≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0， f（x）在[1，e]上单调递增，f（x） min =f（1）= 1 2 ； ②若1＜ a ＜e，即1＜a＜e 2 在（1， a ）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（ a ，e）上，f′（x）＞0， f（x）单调递增，因此在[1，e]上，f（x） min =f（ a ）= 1 2 a（1-lna）； ③若 a ≥e，即a≥e 2 在（1，e）上，f′（x）＜0， f（x）在[1，e]上单调递减，f（x） min =f（e）= 1 2 e 2 -a 综上，当0＜a≤1时，f（x） min = 1 2 ；当1＜ a ＜e时，f（x） min = 1 2 a（1-lna）；当a≥e 2 时，f（x） min = 1 2 e 2 -a…..（13分）