Question

设函数y（x）由参数方程 x＝t3+3t+1y＝t3?3t+1确定，则曲线y=y（x）向上凸的x取值范围为______

设函数y（x）由参数方程 x＝t3+3t+1y＝t3?3t+1确定，则曲线y=y（x）向上凸的x取值范围为______．

Answer 1

由：

x＝t3+3t+1 y＝t3?3t+1

，
得：
y′＝

dy dt

dx dt

＝

3t2?3

3t2+3

＝

t2?1

t2+1

=1?

2

t2+1

，
∴y″＝(y′)′＝

dy′

dt

?

dt

dx

=

d

dt

(1?

2

t2+1

)?

1

dx dt

＝

4t

(t2+1)2

?

1

3(t2+1)

=

4t

3(t2+1)3

，
令：y″＜0，得：t＜0 
又x=t³+3t+1是单调递增的，并且当t＜0时，x＜1，
∴曲线y=y（x）向上凸的x取值范围为（-∞，1）．