如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OP∥AC，且PD⊥CD，AF⊥BF交DC的延长线于H，连CG，分别交AB、AD于M、
如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OP∥AC，且PD⊥CD，AF⊥BF交DC的延长线于H，连CG，分别交AB、AD于M、N．（1）求证：PA为⊙O的切线．（2）若...
如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OP∥AC，且PD⊥CD，AF⊥BF交DC的延长线于H，连CG，分别交AB、AD于M、N．（1）求证：PA为⊙O的切线．（2）若AM=2EM，AN=432，OH=5，求⊙O的半径．
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解：（1）证明：∵CD为⊙O的直径，∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴CA⊥DA；
又∵OP∥AC，
∴OP⊥AD，
∴OP垂直平分AD（垂径定理）；
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴∠AOP=∠DOP（等腰三角形“三线合一”）；
在△AOP和△DOP中，
|
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PAO=∠PDO（全等三角形的对应角相等）；
∵PD⊥CD，
∴∠PAO=∠PDO=90°，∴OA⊥PA，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）由（1）中的AD⊥OP知，
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| AG |
 |
| DG |
∴∠ACG=∠DCG（等弧所对的圆周角相等），
∴
| AC |
| AM |
| CE |
| ME |
| AC |
| AN |
| CD |
| DN |
由∵AM=2EM（已知），
∴
| CE |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AN |
| DN |
| 1 |
| 2 |
∴∠CAE=30°（直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半），
∴∠ACE=60°．
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=r，
∴
| AC |
| AN |
| CD |
| DN |
| r | ||||
|
| 2r | |
|
