Question

如图，点P是?ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别

如图，点P是?ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4；②如果S4＞S2，则S3＞S1；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1-S2=S3-S4，则P点一定在对角线BD上．其中正确的有（　　）A．①③B．②④C．②③D．①④

Answer 1

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，
则S₁=

1

2

ABh₁，S₂=

1

2

BCh₂，S₃=

1

2

CDh₃，S₄=

1

2

ADh₄，
∵

1

2

ABh₁+

1

2

CDh₃=

1

2

AB?BC，

1

2

BCh₂+

1

2

ADh₄=

1

2

AB?CD，
∴S₂+S₄=S₁+S₃，故①正确；
根据S₄＞S₂只能判断h₄＞h₂，不能判断h₃＞h₁，即不能得出S₃＞S₁，∴②错误；
根据S₃=2S₁，能得出h₃=2h₁，不能推出h₄=2h₂，即不能推出S₄=2S₂，∴③错误；
∵S₁-S₂=S₃-S₄，
∴S₁+S₄=2₂+S₃=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，
如图所示：

此时S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，
即P点一定在对角线BD上，∴④正确；
故选D．