Question

（2014?日照）如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针

（2014?日照）如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；（2）当∠BAE=30°时，求CF的长．

Answer 1

（1）证明：过点F作FG⊥BC于点G．
∵∠AEF=∠B=∠90°，
∴∠1=∠2．
在△ABE和△EGF中，

∠1＝∠2 ∠B＝∠FGE＝90° AE＝EF

∴△ABE≌△EGF（AAS）．
∴AB=EG，BE=FG．
又∵AB=BC，
∴BE=CG，
∴FG=CG，
∴∠FCG=∠45°，
即CF平分∠DCG，
∴CF是正方形ABCD外角的平分线．

（2）∵AB=3，∠BAE=30°，tan30°=

BE

AB

＝

3

3

，
BE=AB?tan30°=3×

3

3

，即CG=

3

．
在Rt△CFG中，cos45°=

CG

CF

，
∴CF=

6

．