Question

（2014?海珠区一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，-3

（2014?海珠区一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；（3）当△PBC的面积为218时，求点E的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-

b

2a

-=1，
∴b=-2
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x²-2x-3；
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则

0＝3k+m ?3＝m

，
∴

k＝1 m＝?3

∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x-3，
∴∠OCB=45°，
∵点D在对称轴x=1与直线y=x-3交点上，
∴D坐标为（1，-2 ）
Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，-1），
∵点P在CE垂直平分线上，
∴点P纵坐标为-2，
∵点P在y=x²-2x-3上，
∴x²-2x-3=-2，
 解得：x=1±

2

，
∵P在第三象限，
∴P的坐标为（1-

2

，-2）；

（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m²-2m-3
∵直线BC的解析式为y=x-3，
∴K的坐标为（n+3，n），
∴PK=n+3-m=m²-3m，
∵S_△PBC=S_△PKC+S_△PKB=

21

8

，
∴

1

2

×3KP=

21

8

∴m²-3m=

Answer 2

如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式； 

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限。

①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标。

温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答。

分析：

已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

点评：

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．