Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是BC的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是BC的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点E作EF⊥DE，交AB于点F．若AC=3，BC=4，求DF的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD，CD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=

1

2

BC=CE，
∴∠1=∠2．
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ACB=∠ODE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线． 

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosB=

BC

AB

=

4

5

，
∵E是BC的中点，
∴DE=

1

2

BC=BE=2，
∴∠5=∠B，
∴cos∠5=

DE

DF

=

4

5

，
∴DF=

5

4

DE=

5

2

．