Question

已知函数f（x）=x2+a|lnx-1|，g（x）=x|x-a|+2-2ln2，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间[1，e]上

已知函数f（x）=x2+a|lnx-1|，g（x）=x|x-a|+2-2ln2，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（Ⅱ）若f(x)≥32a，x∈[1，+∞)恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对任意x1∈[1，+∞），总存在惟一的x2∈[2，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1，x∈[1，e]时f（x）=x²-lnx+1，f′(x)＝2x?

1

x

≥f′(1)＝1，
所以f（x）在[1，e]递增，所以f（x）_max=f（e）=e²（4分）
（Ⅱ）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，f'（x）=2x+

a

x

，a＞0，∴f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在[e，+∞）上增函数，故当x=e时，y_min=f（e）=e²（5分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+a，f'（x）=2x-

a

x

=

2

x

（x+

a 2

）（x-

a 2

），
（i）当

a 2

≤1即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，所以f（x）在区间[1，e）上为增函数，
故当x=1时，y_min=1+a，且此时f（1）＜f（e）=e²（7分）
（ii）当1＜

a 2

＜e，即2＜a＜2e²时，f'（x）在x∈（1，

a 2

）时为负数，在间x∈（

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