探索题:(1)设n表示任意一个整数,则用含有n的代数式表示任意一个偶数为______,用含有n的代数式表示任
探索题:(1)设n表示任意一个整数,则用含有n的代数式表示任意一个偶数为______,用含有n的代数式表示任意一个奇数为______;(2)用举例验证的方法探索:任意两个...
探索题:(1)设n表示任意一个整数,则用含有n的代数式表示任意一个偶数为______,用含有n的代数式表示任意一个奇数为______;(2)用举例验证的方法探索:任意两个整数的和与这两个数的差是否同时为奇数或同时为偶数?你的结论是______(填“是”或“否”);(3)设a、b是任意的两个整数,试用“用字母表示数”的方法并分情况来说明a+b和a-b是否“同奇”或“同偶”?并进一步得出一般性的结论.例:①设a=2m,b=2n.则a+b=2m+2n=2(m+n);a-b=2m-2n=2(m-n);此时a+b和a-b同时为偶数.请你仿照以上的方法并考虑其余所有可能的情况加以计算和说明;(4)以(3)的结论为基础进一步探索:-a+b、-a-b、a+b、a-b是否“同奇”“同偶”?(5)应用第(2)、(3)、(4)的结论完成:在2014个自然数1,2,3,…,2013,2014的每一个数的前面任意添加“+”或“-”,则其代数和一定是______(填“奇数”或“偶数”)
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(1)用含有n的代数式表示任意一个偶数为2n,用含有n的代数式表示任意一个奇数为2n+1或2n-1(奇数的表达式写出一个即可);
(2)任意两个整数的和与这两个数的差是同时为奇数或同时为偶数;
(3)②设a=2m,b=2n+1,
则:a+b=2m+2n+1=2(m+n)+1a-b=2m-(2n+1)=2(m-n)-1
此时a+b和a-b同时为奇数
③设a=2m+1,b=2n
则:a+b=2m+1+2n=2(m+n)+1a-b=2m+1-2n=2(m-n)+1
此时a+b和a-b同时为奇数
④设a=2m+1,b=2n+1
则:a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)a-b=(2m+1)-(2n+1)=2(m-n)
此时a+b和a-b同时为偶数
由此可见:a+b和a-b要么同时为奇数,要么同时为偶数,
即a+b和a-b的奇偶性相同;
(4)由(3)的结论:
-a+b=b-a与a+b=b+a奇偶性相同,
-a-b=-b-a与a-b=-b+a奇偶性相同
因此-a+b、-a-b、a+b、a-b“同奇”或“同偶”
(5)在2014个自然数1,2,3,…,2013,2014的每一个数的前面任意添加“+”或“-”,则其代数和一定是奇数.
故答案为:2n,2n+1或2n-1;是;奇数.
(2)任意两个整数的和与这两个数的差是同时为奇数或同时为偶数;
(3)②设a=2m,b=2n+1,
则:a+b=2m+2n+1=2(m+n)+1a-b=2m-(2n+1)=2(m-n)-1
此时a+b和a-b同时为奇数
③设a=2m+1,b=2n
则:a+b=2m+1+2n=2(m+n)+1a-b=2m+1-2n=2(m-n)+1
此时a+b和a-b同时为奇数
④设a=2m+1,b=2n+1
则:a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)a-b=(2m+1)-(2n+1)=2(m-n)
此时a+b和a-b同时为偶数
由此可见:a+b和a-b要么同时为奇数,要么同时为偶数,
即a+b和a-b的奇偶性相同;
(4)由(3)的结论:
-a+b=b-a与a+b=b+a奇偶性相同,
-a-b=-b-a与a-b=-b+a奇偶性相同
因此-a+b、-a-b、a+b、a-b“同奇”或“同偶”
(5)在2014个自然数1,2,3,…,2013,2014的每一个数的前面任意添加“+”或“-”,则其代数和一定是奇数.
故答案为:2n,2n+1或2n-1;是;奇数.
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