Question

已知函数f（x）=（x-k）ex．（Ⅰ）若k=1，求f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最

已知函数f（x）=（x-k）ex．（Ⅰ）若k=1，求f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=xe^x，
∴f'（1）=e，而f（1）=0，
∴f（x）在x=1处的切线方程为：y-0=e（x-1）即y=ex-e；
（Ⅱ）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=-k；
当0＜k-1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k-1）=-e^k-1；
当k-1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1-k）e；
综上所述f（x）_min=

?k，k≤1 ?ek?1，1＜k＜2 (1?k)e，k≥2

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