Question

数学天津市的最后一小问怎么做？不用坐标系

Answer 1

题目条件不足，EF与平面PBC的夹角不确定。根据题目条件，只能确定P在AD中垂面上，P的轨迹是AD中垂面上以E为圆心，PE=2为半径的圆上。极限位置，P可以在底ABCD平面上，EF、PBC、ABCD共面，EF与PBC夹角为0。

追问

题目说了等于60度，p就确定了

追答

眼睛花了，没看清II与下面前面的序号。
连EB，FB，PE
在等腰厶PAD中
PE=√(5一1)=2(勾股定理)
ABD为等腰直角厶，AD⊥BE，AD⊥PE，∴AD⊥PBE，AD⊥PB
BC‖AD，∴BC⊥PB。
∠PEB就是P一AD一B二面角，60°，厶PEB，PE=2，BE=1，∠PEB=60°，∴PB⊥BE，
又BE⊥AD，AD平行BC，∴BE⊥BC
BE⊥PBC，BE⊥FB
∠EFB就是EF与PBC夹角。
PB=√3
PC=√(4十3)=√7
FB=√7/2
FE=√(7/4十1)=√11/2
sinEFB=1/(√11/2)=2√11/11

Answer 2

1. 做辅助线，设 PD 的中点为 G，连接 FG、EG

   因为 FG 是△PCD 的中位线，所以 FG//CD。又因为 AB//CD（平行四边形），所以 FG//AB

   因为 EG 是△PAD 的中位线，所以 EG//PA。

   所以，平面 EFG//平面PAB（一个平面内两条相交的直线与另一个平面内两条相交的直线分别平行，则这两个平面平行）

   因此，EF//平面PAB

2. 做辅助线，连接BE、PE。

   因为 △ABD 是等腰直角三角形（AB^2 + BD^2 = AD^2），BE 是底边 AD 上的中垂线。即 BE⊥AD。BE = 1（请用勾股定理计算）

   又因为△PAD 也是等腰三角形，PE 是底边 AD 的中垂线，所以 PE⊥AD，PE = 2 = 2BE（请用勾股定理计算）

   那么，∠PEB 就是 P-AD-B 的二面角，即 ∠PEB = 60°

   PB^2 = PE^2 + BE^2 - 2PE*BE*cos60° = PE^2 + BE^2 - PE*BE = PE^2 + BE^2 - 2BE^2 = PE^2 - BE^2 = 3

   即 BE^2 + PB^2 = PE^2（勾股定理），PB⊥BE

   又因为 PD^2 - BD^2 = 5 - 2 = 3 = PB^2

   即 PB^2 + BD^2 = PD^2（勾股定理），PB⊥BD

   所以，PB⊥平面ABCD

   因此，平面PBC⊥平面ABCD

3. 设 PB 的中点为 H，做辅助线，连接 BF、FH、AH

   因为 AD//BC，BE⊥BC，PB⊥BE，所以 BE⊥平面PBC

   因此，BF 就是 EF 在平面PBC 上的投影

   因为 FH 是△PBC 的一条中位线，则 FH//BC 且 FH = 1/2 BC = 1。那么 FH//AE，四边形 AEFH 是平行四边线。EF = AH

   因为 PB⊥BA，所以 AH = √(AB^2 + BH^2) = √(2 + 3/2) = √(7/2)

   所以，sin∠BFE = BE/EF = 1/√(7/2) = √(2/7)

   cos∠BFE = √(1 - 2/7) = √(5/7)

    

    

追问

最后一问。。

追答

对不起，笔误！
因为 PB⊥BA，所以 AH = √(AB^2 + BH^2) = √(2 + 3/4) = √(11/4) = (√11)/2
所以，sin∠BFE = BE/EF = 1/[(√11)/2] = 2/√11
cos∠BFE = √(1 - 4/11) = √(7/11) =√7 /√11

Answer 3

建立空间直角坐标系，简单。。

追问

主要是因为我没有用坐标系算出来和答案不一样，而且我也没看出来哪里错了。。