已知x>1,y>0,且2/(x-1)+1/y =2,求x+y最小值
5个回答
展开全部
解:
2/(x-1)+1/y=2
2/(x-1)=2- 1/y
x>1,x-1>0,2/(x-1)>0
2-1/y>0,1/y<2,又y>0,因此y>½ (首先判定y的取值范围)
整理,得x=(4y-1)/(2y-1) (再将x用y表示)
x+y=(4y-1)/(2y-1) +y
=(4y-2+1)/(2y-1) +y
=y+2 +1/(2y-1)
=½(2y-1) +1/(2y-1) +5/2 (将x+y用y表示)
由均值不等式得:
½(2y-1) +1/(2y-1)≥2√[½(2y-1)/(2y-1)]=√2
当且仅当½(2y-1)=1/(2y-1)时取等号,此时y=(1+√2)/2>½
x+y≥5/2 +√2
x+y的最小值为5/2 +√2
解题思路:
首先判定y的取值范围,再用y表示x,再运用均值不等式求解。
之所以要先判定y的取值范围,原因有两个:
1、要确保适用均值不等式,本题中y>½,2y-1>0,因此½(2y-1)>0,1/(2y-1)>0,适用均值不等式;
2、均值不等式取等号时的y在求得的y的取值范围内。若不在取值范围内,则需要另行讨论。
2/(x-1)+1/y=2
2/(x-1)=2- 1/y
x>1,x-1>0,2/(x-1)>0
2-1/y>0,1/y<2,又y>0,因此y>½ (首先判定y的取值范围)
整理,得x=(4y-1)/(2y-1) (再将x用y表示)
x+y=(4y-1)/(2y-1) +y
=(4y-2+1)/(2y-1) +y
=y+2 +1/(2y-1)
=½(2y-1) +1/(2y-1) +5/2 (将x+y用y表示)
由均值不等式得:
½(2y-1) +1/(2y-1)≥2√[½(2y-1)/(2y-1)]=√2
当且仅当½(2y-1)=1/(2y-1)时取等号,此时y=(1+√2)/2>½
x+y≥5/2 +√2
x+y的最小值为5/2 +√2
解题思路:
首先判定y的取值范围,再用y表示x,再运用均值不等式求解。
之所以要先判定y的取值范围,原因有两个:
1、要确保适用均值不等式,本题中y>½,2y-1>0,因此½(2y-1)>0,1/(2y-1)>0,适用均值不等式;
2、均值不等式取等号时的y在求得的y的取值范围内。若不在取值范围内,则需要另行讨论。
展开全部
x>1→x-1>0,且y>0.
故依柯西不等式得
2=2/(x-1)+1/y
=(√2)²/(x-1)+1²/y
≥(√2+1)²/[(x-1)+y]
∴x+y-1≥(3+2√2)/2
即x+y≥(5+2√2)/2.
故所求最小值为: (5+2√2)/2。
也可用均值不等式,只是运算量大点:
x+y-1
=(1/2)·2·[(x-1)+y]
=(1/2)[(x-1)+y][2/(x-1)+1/y]
=(1/2)[3+(x-1)/y+2y/(x-1)]
≥(3/2)+(1/2)·2√[(x-1)/y·2y/(x-1)]
=(3+2√2)/2
∴x+y-1≥(3+2√2)/2
即x+y≥(5+2√2)/2.
∴(x-1)/y=2y/(x-1),
且2/(x-1)+1/y=2,
即x=(4+√2)/2,y=(1+√2)/2时,
所求最小值为: (5+2√2)/2。
故依柯西不等式得
2=2/(x-1)+1/y
=(√2)²/(x-1)+1²/y
≥(√2+1)²/[(x-1)+y]
∴x+y-1≥(3+2√2)/2
即x+y≥(5+2√2)/2.
故所求最小值为: (5+2√2)/2。
也可用均值不等式,只是运算量大点:
x+y-1
=(1/2)·2·[(x-1)+y]
=(1/2)[(x-1)+y][2/(x-1)+1/y]
=(1/2)[3+(x-1)/y+2y/(x-1)]
≥(3/2)+(1/2)·2√[(x-1)/y·2y/(x-1)]
=(3+2√2)/2
∴x+y-1≥(3+2√2)/2
即x+y≥(5+2√2)/2.
∴(x-1)/y=2y/(x-1),
且2/(x-1)+1/y=2,
即x=(4+√2)/2,y=(1+√2)/2时,
所求最小值为: (5+2√2)/2。
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
2015-05-14 · 知道合伙人教育行家
关注
展开全部
设t=x-1
则,2/t+1/y=2
x+y=t+1+y
=1+(t+y)
=1+1/2·(t+y)·2
=1+1/2·(t+y)·(2/t+1/y)
=1+1/2·(3+2y/t+t/y)
≥1+1/2·[3+2·√(2y/t·t/y)]
≥5/2+√2
则,2/t+1/y=2
x+y=t+1+y
=1+(t+y)
=1+1/2·(t+y)·2
=1+1/2·(t+y)·(2/t+1/y)
=1+1/2·(3+2y/t+t/y)
≥1+1/2·[3+2·√(2y/t·t/y)]
≥5/2+√2
本回答被提问者采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
另a=x-1 。然后不等式
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
百度位次法
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询