Question

证明：f（x,y）在点（0，0）处连续且偏导数存在，但不可微

设f（x,y）=｛x^2y^2/（x^2+y^2）^3/2，（x^2+y^2≠0）；0，（x^2+y^2=0）｝

Answer 1

解析如下：

1）由于

|[(x^2)(y^2)]/(x^2+y^2)^(3/2)|

<={{[(x^2)+(y^2)]/2}^2}/(x^2+y^2)^(3/2)

=[(x^2+y^2)^(1/2)]/4→0，(x,y)→(0,0)，

可知

lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)=0=f(0,0)。

2）由

lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x=lim(x→0)(0-0)/x=0，

知fx(0,0)=0，同理，fy(0,0)=0。

3）若f(x,y)在(0,0)可微，应有

[△f(0,0)-df(0,0)]

=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)-[fx(0,0)*dx+fy(0,0)*dy]

=[(△x^2)(△y^2)]/(△x^2+△y^2)^(3/2)

=o(ρ)(ρ→0)，

其中，ρ=(△x^2+△y^2)^(1/2)，但

lim(ρ→0)[△f(0,0)-df(0,0)]/ρ

=lim(ρ→0)[(△x2)(△y2)]/(△x2+△y2)2

=lim(ρ→0)[(△x)(△y)/(△x2+△y2)]2

不存在，矛盾。因此f(x,y)在(0,0)不可微。

偏导数求法

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

把x和y用rcos和rsin代替，求极限lim下x,y趋近于0，即r趋近于0，算出来0，等于上面式子f(0,0)=0，所以证得连续。再根据偏导数定义式，分别对f(0,0)求对x和y的偏导，所以偏导数都存在 后面接着求极限证不可微就行