Question

高数零点定理证明。不想想当然地就用这个定理，希望能有具体的证明过程。 设函数f(x)在闭区间＜a,

高数零点定理证明。不想想当然地就用这个定理，希望能有具体的证明过程。
设函数f(x)在闭区间＜a,b＞上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(a,b)内至少有一点H使f(H)=0

Answer 1

零点定理：
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)×
f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

证明：不妨设f(a)<0,f(b)>0.令

E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，

(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

这与supE为E的上界矛盾；

(ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,

这又与supE为E的最小上界矛盾。

综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

追问

E不等于Φ是什么意思？

我会采纳你的，只是有些疑问

追答

是初中集合的知识，Φ表示空集

追问

哦

懂了，厉害👍