Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8．动点P从点A开始沿折线AC－CB－BA运动 点P在AC,CB,BA边上运动的速度

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8．动点P从点A开始沿折线AC－CB－BA运动点P在AC,CB,BA边上运动的速度分别为每秒3,4,5 个单位．直线l 从与AC重合的位置开始,以每秒 个单位的速度沿CB方向平行移动,即移动过程中保持l∥AC,且分别与CB,AB边交于E,F两点,点P与直线l同时出发,设运动的时间为t秒,当点P第一次回到点A时,点P和直线l同时停止运动(1)当t = 4秒时,点P走过的路径长为 ▲ ；当t = ▲ 秒时,点P与点E重合； (2)当点P在AC边上运动时,将△PEF绕点E逆时针旋转,使得点P的对应点M落在EF上,点F的对应点记为点N,当EN⊥AB时,求t的值； (3)当点P在折线AC－CB－BA上运动时,作点P关于直线EF的对称点,记为点Q．在点P与直线l运动的过程中,请直接写出四边形PEQF为菱形时t的值． （4）在整个运动过程中，设三角形PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值
步骤最好要详细

Answer 1

（1）①在Rt△ABC中，由∠C=90°，AC=6，BC=8得AB=10．
∵点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位，
∴点P在AC边上运动的时间为：6÷3=2秒，
点P在BC边上运动的时间为：8÷4=2秒，
点P在AB边上运动的时间为：10÷5=2秒．
∴当t=3秒时，点P走过的路径长为6+4×（3-2）=10．
②由题意可知：当（t-2）×4=
4
3
t时，点P与点E重合．
解得：t=3．
∴t=3秒时，点P与点E重合．
③若PE∥AB，如图1，
则有△CPE∽△CAB．
∴
CP
CA
=
CE
CB
．
∴CP?CB=CE?CA．
∵CP=6-3t，CB=8，CE=
4
3
t，CA=6，
∴8（6-3t）=
4
3
t×6．
解得：t=1.5．
∴当t=1.5秒时，PE∥AB．
故答案分别为：10、3、1.5．

（2）如图2，
由旋转可得：∠PEF=∠MEN，
∵P在AC上，∴AP=3t （0＜t≤2）．
∴CP=6-3t．
∵EF∥AC，∠C=90°，
∴∠CPE=∠PEF，∠BEF=∠C=90°．
∵EN⊥AB，
∴∠B=90°-∠NEB=∠MEN．
∴∠CPE=∠B．
∵∠C=∠C，∠CPE=∠B，
∴△CPE∽△CBA．
∴
CP
CB
=
CE
CA
．
∴CP?CA=CE?CB．
∴（6-3t）×6=
4t
3
×8．
解得：t=
54
43
．
∴当EN⊥AB时，t的值为
54
43
（秒）．

（3）①当P点在AC上时，（0＜t≤2），如图3，
∵EF∥AC，
∴△FEB∽△ACB，
∴
EF
AC
=
BF
BA
=
BE
BC
．
∵AC=6，BC=8，AB=10，BE=8-
4t
3
，
∴EF=6-t，BF=10-
5t
3
．
∵四边形PEQF是菱形，
∴∠POE=90°，EF=2OE．
∵∠C=∠POE=∠OEC=90°，
∴四边形PCEO是矩形．
∴OE=PC．
∴EF=2PC．
∴6-t=2（6-3t）．
∴t=
6
5
．
②当P点在BC上时，
此时点Q也在BC上，
所以以点P、E、Q、F为顶点不能构成菱形，故不存在．
③当P在AB上时，（4＜t＜6），如图4，
∵四边形PFQE是菱形，
∴OE=OF=
1
2
EF，EF⊥PQ．
∴∠FOP=90°=∠FEB．
∴OP∥BE．
∴△FOP∽△FEB．
∴
FP
BF
=
FO
FE
．
∴
FP
BF
=
1
2
．
∴BF=2PF．
∴BF=2BP．
∵BF=10-
5
3
t，BP=5（t-4），
∴10-
5t
3
=2[5（t-4）]．
解得：t=
30
7
．
综上所述：当四边形PEQF为菱形时，t的值为
6
5
（秒）或
30
7
（秒）．