Question

要过程！急需！一定采纳！谢谢！

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Answer 1

1、证明：在AB上选一点E，使得BE=BP。连EP。

易知△BEP等边。于是，∠APE+∠EAP=60°。而又由于∠APQ=60°，故∠APE+∠CPQ=60°；

于是有∠EAP=∠CPQ。另外∠C=∠PEA=120°，于是△EAP与△CPQ相似。

在正△BEP中，BP=BE，于是AE=PC。这样为两个相似三角形找到了一组相等的对应边。从而△EAP与△CPQ全等。于是得到AP=AQ，于是△APQ是正三角形。

2、第二问利用面积来做

首先证明△ABP与△ACQ全等，之后就说明了△APQ与△PCQ面积之和就是该菱形面积的一半，就是。然后利用x来表示△PCQ面积，利用y来表示△APQ面积。两块面积相加等于。之后再进行化简，得到。千万注意，这里x的定义域，只能够取0到6。因为p点只能在BC上面移动。

3、题目中没有画出这种情况，但是，我们可以这样理解：如果PD⊥AQ，则P,D以及AQ的中点M三点共线。

这样不妨将M点找出，连接PM，DM，这样，DM⊥AQ，于是此时AD=QD。QD的长度可以改变，但是AD长度是定值，与DC相等。这个时候，实际上是QC两点重合了。上面已经证明，△ABP与△ACQ全等，于是QC=BP，于是这时BP=0,

Answer 2

（1）
连AC。
情形1：
当P、C重合时，显然有：D、Q重合，此时△APQ就是△ACD。
∵ABCD是平行四边形、AB＝BC，∴ABCD是菱形，∴△ACD是正三角形，∴△APQ是正三角形。

情形2：
当P在BC上时，显然有：Q在CD上，否则∠PAQ＞∠CAD。
∵ABCD是平行四边形、AB＝BC，∴ABCD是菱形，又∠B＝60°，∴∠CAD＝60°，
∴∠PAQ＞60°，与给定的∠PAQ＝60°矛盾。

∵ABCD是平行四边形、AB＝BC，∴ABCD是菱形，∴∠ACP＝∠ADQ。
∵∠PAQ＝∠CAD＝60°，∴∠CAP＋∠CAQ＝∠CAQ＋∠DAQ，∴∠CAP＝∠DAQ。
由∠ACP＝∠ADQ、∠CAP＝∠DAQ、AC＝AD，得：△ACP≌△ADQ，∴AP＝AQ。
由∠PAQ＝60°、AP＝AQ，得：△APQ是正三角形。

情形3：
当P在BC的延长线时，显然有：Q在CD的延长线上，否则∠PAQ＜∠CAD＝60°，
与给定的∠PAQ＝60°矛盾。

∵∠CAD＝∠PAQ＝60°，∴∠CAP＋∠PAD＝∠PAD＋∠DAQ，∴∠CAP＝∠DAQ，
又∠ACP＝∠ADQ、AC＝AD，∴△ACP≌△ADQ，∴AP＝AQ，而∠PAQ＝60°，
∴△APQ是正三角形。

综上情形1、2、3所述，得：△APQ是正三角形。

（2）
情形1：
当C、P重合时，显然有：y＝PQ＝CD＝BC＝BP＝x＝6＝√（x^2－6x＋36）。

情形2：
当P在BC上时，
y^2＝PQ^2＝AP^2＝AB^2＋BP^2－2AP·BPcosB＝36＋x^2－2×6xcos60°＝x^2－6x＋36，
∴y＝√（x^2－6x＋36），其中x∈（0，6）。

情形3：
当P在BC的延长线时，
y^2＝PQ^2＝AP^2＝AB^2＋BP^2－2AP·BPcosB＝36＋（x－6）^2－2×6（x－6）cos60°，
∴y＝√（x^2－6x＋36），其中x∈（6，＋∞）。

综上情形1、2、3，得：y＝√（x^2－6x＋36），其中x∈（0，＋∞）。

（3）
情形1：
当C、P重合时，CD就是PD、AD就是AQ，依题意，有：PD⊥AQ，∴CD⊥AD，
但∠ADC＝60°，∴这种情形不存在，应舍去。

情形2：
当P在BC上时，Q必然在CD上，令PD、AQ相交于M。
∵△APQ是正三角形，又PA＝PQ，又AM＝QM、PM⊥AQ，∴AM＝QM，而DM⊥AQ，
∴AD＝QD，但显然有：AD＝CD＞QD，∴这种情形不存在，应舍去。

情形3：
由情形1、情形2，得：点P一定在BC的延长线上。
∵△APQ是正三角形，又PD⊥AQ，∴D在AQ的中垂线上。
显然有：∠ADC＝60°，∴∠ADQ＝120°，又D在正△APQ中AQ的中垂线上，
∴D是正△APQ的中心，∴∠PDQ＝120°，∴∠PDC＝60°。
∵ABCD是菱形、∠B＝60°，∴∠PCD＝60°，又∠PDC＝60°，∴△PCD是正三角形，
∴CP＝CD＝AB＝6，∴BP＝BC＋CP＝AB＋6＝12。

Answer 3

第（2）看不清，写正规点，我看。先做1 3 等会看图。

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