Question

求y=2x³+3x²-12x+24在闭区间[-3，2]的极值，最值及单调区间

Answer 1

解：①求导数：y′＝6x²＋6x－12

令y′=0，则6x²＋6x－12=0解得x＝1或x＝﹣2，1或2∈[-3，2]；

x＝1时y＝17；x＝﹣2时y＝44

∴函数y=2x³+3x²-12x+24在闭区间[-3，2]的极小值与极大值分别是17，44；

②∵x＝-3时y＝33；x＝2时y＝28

而17＜28＜33＜44

∴函数y=2x³+3x²-12x+24在闭区间[-3，2]的最小值与最大值分别是17，24；

③结合函数图像知道y=2x³+3x²-12x+24在闭区间[-3，2]的单调上升区间为[﹣3，﹣2]和[1，2]，单调下降区间为[﹣2，1]。

Answer 2

y=2x^3+3x^2-12x+24
y'=6x^2+6x-12
y'=0
x^2+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=1 or -2

y''= 12x+6
y''(1)>0 (min)
y''(-2)<0 (max)

y(1) =2+3-12+24=17
y(-2)=-16+12+24+24 = 44

y(2)=16+12-24+24=28
y(-3)=-54+27+36+24=33

max y = y(-2) =44
min y =y(1)=17