Question

问大家一个问题，求一道数学题参考答案第三步的解释，我看答案都看不懂……

求函数y0=f（x0）关于直线Ax+Bx+C=0的对称图像y1=f（x1）的解析式？
这是我在百度文库的一篇文章【镜花止水】偶然中看到的一个问题，作者做出来了，那篇文章中也有解释过程，其中第三步我还是看不懂。求解释啊，亲。

Answer 1

原理很简单，
构造另外一个坐标系u=Ax+By+C, v=Dx+Ey+F
那么 在uv坐标系中找到v=g(u)的对称图形就是 v=-g(u)

再将x,y使用u，v表示即可。

追问

第一：作者的方法是否正确？
第二：你这种方法是否和作者的方法一样？
第三：你能否证明自己的这种坐标转换法是能解决这个问题的（因为一个问题出来，解决这个问题的含糊思路大家都有的，但往往发现思路是走不通的），即你能否用这种uv坐标转换法写出解决“求函数y0=f（x0）关于直线Ax+Bx+C=0的对称图像y1=f（x1）的解析式？“这个问题的详细步骤和最终结果.(可截图发着方便一点)

追答

（1）我找不【镜花止水】的文章，只能告诉你我的思路。
（2）我这种方法就是简化计算而已，因为在一个坐标系下你找和x轴对称的图形很容易，
所以将原直线Ax+By+c=0转成新坐标系的x轴而已。
全是符号叙述过于麻烦，给你做一个具体示例
如直线为x+2y+3=0,找一条和他垂直的直线，2x-y=0
令u=x+2y+3,v=2x-y
那么x=(u+2v-3)/5 , y =(2u-v-6)/5
y0=f（x0） 在uv坐标系中方程为

(2u-v-6)/5 =f( (u+2v-3)/5 )
任何一点(u,v)关于u=0的对称点为(-u,v)
所以y1=f（x1） 在uv坐标系中方程为
(-2u-v-6)/5 =f( (-u+2v-3)/5 )
再将u,v代回x,y的表示即可。
(-4x-3y-12)/5=f[(3 x - 4 y - 6)/5]
这就是对称方程。
你可代任何的f函数进去试试。

追问

追答

(-4x-3y-12)/5=f[(3 x - 4 y - 6)/5]

f=2x^3+3x+4

那么就是(-4x-3y-12)/5=2[(3 x - 4 y - 6)/5]^3+3[(3 x - 4 y - 6)/5]+4

那么方程要化简后就是x和y的函数，但是个隐函数，无法给出y=g(x)的形式。

看到这边文章了，他的第三部有些问题，关键是反函数是否存在，存在我们可能也写不出来。

像y=2x^3+3x+4的反函数存在，因为他是x的单增函数，【注:但可惜这个反函数写出来太麻烦】

但y=2x^3-3x+4的反函数是不存在的，在复数域中反函数存在3个分支，取那个不知道，无法保证函数的连续性。

但文章中举得例子就是直线，没有问题。

我的uv坐标系实际上是原有坐标系的旋转和平移得到

如文章例子用的是直线。没问题，反函数存在，也可以写出来。

新坐标系 u=3x+4y-1,v=4x-3y

可以得到x = (3u+4v+3)/25, y =(4u-3v+4)/25

直线2x+y-4=0在uv坐标系为2(3u+4v+3)/25+(4u-3v+4)/25-4=0

化简为 2u+v-18=0   对称轴为u=0，对称直线为2u+v+18=0

将u=3x+4y-1,v=4x-3y换回，即可得到对称直线为2x+11y+16=0。和原文章结果相同，

但使用它的公式求y=2x^3+3x+4的关于x+2y+3=0的对称很麻烦

因为他的反函数如下图

不是不能化简，而是非常麻烦，不如我的坐标轴变换。

Answer 2

第三部呢，请写出来啊

追问

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