Question

高数，求极限，关于等价无穷小

Answer 1

此题有两个方面值得注意。

1、lim（A+B）=limA+limB，此等式成立的是要求A与B的极限都存在。

而本题中tanx/x³与sinx/x³的极限不存在，所以不能分开计算。
本题属于未定式0/0型，你分开后就是未定式∞-∞型

当其中一项的极限不存在时，不能将极限分开计算。

2、无穷小量替换是有要求的。
乘除时，可以直接替换。
加减时，也可以替换，但有条件。并不是有的学生认为的不能替换！！！
当减法时，A～a，B～b，limA/B≠1时，lim（A-B）可以用无穷小量替换，lim（A-B）=lim（a-b）
当加法时，A～a，B～b，limA/B≠ - 1时，lim（A+B）可以用无穷小量替换，lim（A+B）=lim（a+b）

本题中tanx与sinx，limtanx/sinx = 1，所以减法运算不能替换。

具体的求解，方法有很多。较为简单是还是用无穷小量替换，以及泰勒公式。
对于洛必达法则，尽量少采用。

newmanhero 2015年5月16日23:23:43

希望对你有所帮助，望采纳。

追问

你说的无穷小替换，在加减时的限制条件（limA/B≠1时），书上没给出，想问下有没有证明？怎么证明的。

追答

减法，lim A/B ≠ 1
加法，lim A/B ≠ -1

但往往加减时，A/B的极限未知。
用泰勒公式求极限就是基于这种思想。

证明过程还是免了吧。你不是学数学的，看起来会有点累。

如果真的需要，这涉及到一些新的定义，还有几个新的定理。

如果需要我证明，请增加100悬赏。

具体内容可以参考，
菲赫金哥尔茨 《微积分学教程》

追问

我想知道这个限制条件是怎么来的，理论依据是什么，能帮我具体描述下吗

追答

减法，lim A/B ≠ 1

若limA/B = 1，A～x^n，B～x^n
那么A - B是比x^n更高阶的无穷小，就不能用等价无穷小直接替换，此时需要考虑用更高阶的无穷小来替换。

Answer 2

追答

洛必达法则不是看见题就用，加减法用洛必达法则不要轻易用，一定要根据使用条件判断

不能用的时候做恒等变换变成乘除法，或者用泰勒公式

泰勒公式做法，看到加减法泰勒公式要是会的话是很简单的，要是不会用洛必达一定要先判断