Question

已知，如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，则结论：（

已知，如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，则结论：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD成立吗？请说明理由．

Answer 1

（1）因为：∠ABC=∠ADC
所以：△ABC和△ADC都是直角三角形
而：M是AC的中点
所以：BM=(1/2)AC, DM=(1/2)AC
所以：BM=DM
（2）MN⊥BD成立。
证明：因为：BM=DM
所以：△BDM是等腰三角形
而：N是BD的中点
所以：MN是等腰△MBD的底边BD上的高
所以：MN⊥BD

Answer 2

证明：
∵∠ABC=∠ADC=90°M,N分别是AC,BD的中点
∴BM=1/2AC,DM=1/2AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
∴MB=MD
∵N是BD中点
∴MN⊥BD（等腰三角形三线合一）

Answer 3

（1）
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
在Rt△ABC中，BM是斜边AC上的中线，等于AC的一半
在Rt△CDA中，DM是斜边AC上的中线，等于AC的一半
∴ MD=MB

（2）
成立
∵ 在（1）里面已经证明了 MD=MB
∴△MBC是个等腰三角新
∵题目告知N是BD上的中点
∴等腰三角形的中线MN⊥BD