Question

求教广义p-级数的敛散性证明

想到啦，用比较审敛法就好，根据1/n<ln n<n的基本不等式关系，进行放缩就好

Answer 1

证明方法如下：

即当p≤1p≤1时，有1np≥1n1np≥1n，调和级数是发散的，按照比较审敛法： 

若vnvn是发散的，在n>N,总有un≥vnun≥vn,则unun也是发散的。 

调和级数1n1n是发散的，那么p级数也是发散的。

P级数的定义：

p级数，又称超调和级数，是指数学中一种特殊的正项级数。当p=1时，p级数退化为调和级数。p级数是重要的正项级数，它能用来判断其它正项级数敛散性。

以上内容参考百度百科——p-级数

Answer 2

你的不等式是错误的，那个不等式是：1/n < ln(n+1) < n，而不是1/n<ln n<n。

基于积分审敛和比较审敛法，可以有如下证明。

证明过程

积分审敛法，是在正项级数背景下的一种审敛方法，本质上是比较审敛的积分推广。

积分审敛法描述

积分审敛的原理

Answer 3

积分审敛法，本质是比较审敛法。具体证明过程如图所示，注意其中还应用了定积分的比较性质。

Answer 4

由Leibniz定理知该级数收敛，由-ln(1+x)的Taylor展开公式知该级数收敛于-ln2.

Answer 5

你想到的比较审敛法是做不下去的，应该用积分审敛法，你试试？