Question

高分速求线性代数大神帮忙解释关于矩阵可逆判别方法的问题感谢，如图从网上抄的，不明白这段话什么意思？

高分速求线性代数大神帮忙解释关于矩阵可逆判别方法的问题感谢，如图从网上抄的，不明白这段话什么意思？为什么不能取中间列，有个一是什么意思？最后非零组合无法得到零向量呢？

Answer 1

首先，一个方阵可逆等价于它的所有行向量线性无关（或所有列向量线性无关）。所以，判定一个方阵是否可逆，可以通过看它的所有行向量或列向量是否线性无关而得到。
其次，对于像图片里这种简单的矩阵，确实可以用眼睛“瞪”出来：
比如，我们看列向量是否线性无关。
通常的做法是：
记三个列向量为a, b, c. 为了要看三者是否线性无关，设ka+Lb+mc=0 （*）
（注意这是向量等式，0是零向量，含三个分量；k、L、m为待定系数）
这时，（*）式左边的向量的三个分量是：k+L、 L、 k+m，右边的三个分量都是0. 于是，左右要想相等，就必须k+L=0, L=0, k+m=0，由此推出k=0, L=0, m=0. 也就是说，要想使（*）成立，只有三个系数都是0才行（即：并不存在不全为0的数k, L, m，使得（*）成立！）。所以，三个列向量线性无关。
“瞪”的办法：观察矩阵B，“有没有不全为0的数k, L, m使得（*）成立”其实就是能否把B的各列分别乘以一个倍数后组合出一个三个分量都是0的零向量。由于第二列中间的1左右两侧都是0，所以无论怎么组合，只要第二个列向量的系数不为0，得到的向量的第二个分量怎么也不可能是0（这就注定第二个列向量的系数L=0）。于是，就看另两列是否能组合出零向量了（若能，只要取第二个列向量的系数为0即可）。但明显可见，第一列顶角上的1要想变为0，只有第一列乘以倍数0；而第一列乘以0后第三个分量是0，这时要想使左下角的1变成0就只有第三列也乘以0了！上述过程简述就是：第二列中间1欲变为0，整列必须乘以0；第一列顶角1欲变成0，整列必须乘以0；在此情形下第三列左下角1欲变成0，整列必须乘以0.于是，不可能有不全为0的三个数，使得它们分别乘以矩阵的三个列向量后得到零向量。
类似地，可以看行向量：第三行左下角1变成0的话，必须第三行乘以0；此时第一行左上角1要变成0必须第一行乘以0；最后，中间的1要变成0只有第二行乘以0.

追问

我想说若要使这三列线性无关那么第二列的系数x2就必须为0不是么？那何必舍去第二列呢？取这三列进行组合照样能得出x2为0啊

追答

你把矩阵和组合表达式结合起来考虑，第二列乘以0不舍去的话在组合表达式里只是各分量都加0而已，还不是一样吗？

追问

不考虑第二列的原因：因为左右两侧都为0则第二列系数也必须为0才能使Ax=0等式右侧向量的第二个分量为0，那其系数为0则第二列分量全为0相当于加一个零，所以不考虑，只看另外两列是不是线性无关是这样吗？？？

追答

所谓“舍去”实际上是那个中间的1要想化为0就非要把第二列乘以0不可，而乘以0后这列就没了。仔细看看我前面的回答你就明白了。

追问

嗯，那我刚的追问没问题吧

追答

我刚解释的不就是为什么要舍去第二列吗？

追问

那就跟我追问的意思一样，你没看到吗？很感谢你的耐心回答再次谢谢

追答

不客气。

Answer 2

其实原理很简单，可逆矩阵是满秩矩阵，各向量间线性无关，因此任意行或列组合都不可能得到零向量，反之则必然可以组合出零向量。
这个矩阵里面第1，3列中间已经是0了，第2列中间非0，所以三列组合不可能消去中间的0的，因此要组合出零向量，只能由第1，3列组合出来。

追问

三列组合不可能消去中间的0是什么意思？为什么要消去中间的0？？而且取这三列的线性组合只能得到零向量啊证明其无关

追答

说错了，是三列不管你怎么组合，中间那一位是不可能得到0的。

追问

不考虑第二列的原因：因为左右两侧都为0则第二列系数也必须为0才能使Ax=0等式右侧向量的第二个分量为0，那其系数为0则第二列分量全为0相当于加一个零，所以不考虑，只看另外两列是不是线性无关是这样吗？？？

Answer 3

判断矩阵可逆，只需要他的行列式不等于零即可，如果用其他方法相对较难，建议使用这种方法比较简单，如果是证明题就严格按照定义证明 AB=BA=I I是单位矩阵
可以参考
http://wenku.baidu.com/link?url=tyooFz6_2xB739wZKICzgPkMquo_GppMJbFE68tRVxUelq6w0Q2KZ27Z3whZv0tyysVOZyUNNZxEOi0yfL_6OQLD5-t3ndCTyWBb3OcwJSi

Answer 4

何必用此种无明显依据的方法？
该矩阵的行列式是 1， 不等于 0， 故矩阵可逆。

追问

就是想知道什么意思啊网上看的一位麻省理工老师讲的视频说的

Answer 5

计算此矩阵行列式，不等于0就可逆