Question

在椭圆 x²/9 + y²/4 = 1上动点P（x,y）与定点M（m,0）(0<m<3)的距离的最小值是1，求m?

快重奖

Answer 1

设P（x0,y0）到定点M（m,0）的距离最小。
0＜m＜3,最小值在P（x0,y0）取得，MP⊥椭圆过P的切线。
椭圆过P的切线方程：xx0／9+yy0/4＝1.斜率＝-4x0/9y0
MP斜率＝y0/（x0-m）
∴y0/（x0-m）×[-4x0/9y0]＝-1,y0≠0时。
解得x0＝9m/5.注意x0≤3,m≤5/3.此时y0＝√（4-36m²/25）.
|AP|＝2√（25-5m²）/5,
当5/3≤m＜3时，最小距离是3-m.（只有P（3,0）,MP⊥切线。此时y0=0）
当5/3＞m＞0时，
p(x,y)和定点M(m,0)(m>0)的距离的最小值＝2√（25-5m²）/5。

现在距离的最小值=1
当5/3≤m＜3时。最小距离是3-m=1.m=2.m∈[5/3,3）.成立。
当5/3＞m＞0时，最小距离是2√（25-5m²）/5=1.m＝√15/2.m不在（0，5/3）
不成立。

总之，只有一个m＝2,(0<m<3)使（m.0）到椭圆上点的距离的最小值为1.

Answer 2

由于点P(x,y)在椭圆上，令x=3cost,y=2sint,
|PM|²=(3cost-m)²+(2sint)²=……=7(cost - 3m/7)² + 2 - 2m²/7
由于-1≤cost≤1且0<m<3,故当-1≤3m/7≤1,即0<m≤7/3,且cost=3m/7时，2 - 2m²/7=1,解得m=√14/2，经验证m=√14/2<7/3符合题意；
当3m/7>1,即7/3<m<3时，cost=1时|PM|²取得最小值1，即7(-3m/7)²+2-2m²/7=1此方程无实数解。
故m=√14/2

Answer 3

点M在椭圆内，椭圆上的点到点M的最小距离 = 1，相当于以点M为圆心，1为半径的圆和椭圆内切。
x^2/9 + y^2/4 = 1

2x/9 + 2yy'/4 = 0,

y' = -4x/(9y) 是椭圆上的点(x,y)处切线的斜率。

(x-m)^2 + y^2 = 1,

2(x-m) + 2yy' = 0,

y' = (m-x)/y是 以点M为圆心，1为半径的圆上的点(x,y)处的切线的斜率。

(m-x)/y = -4x/(9y),

x = 9m/5

y^2 = 1 - (x-m)^2 = 1 - (9m/5 - m)^2 = 1 - 16m^2/25 = 4[1 - x^2/9]

= 4[1 - (9m/5)^2/9] = 4 - 36m^2/25,

20m^2/25 = 3,

m^2 = 3*5/4,

又，m > 0.
所以，
m = (15)^(1/2)/2

Answer 4

M到P的距离可表示为
(x-m)^2+y^2大于等于1^2
即(x-m)^2+y^2-1大于等于0……(1)
而x，y又满足
(x^2)/9+(y^2)/4=1
将y^2=4-4(x^2)/9代入(1)式可得
5/9x^2-2mx+m^2+3大于等于0
用B^2-4AC=0
可求得m=二分之根号15

Answer 5

M到P的距离可表示为
(x-m)^2+y^2大于等于1^2
即(x-m)^2+y^2-1大于等于0……(1)
而x，y又满足
(x^2)/9+(y^2)/4=1
将y^2=4-4(x^2)/9代入(1)式可得
5/9x^2-2mx+m^2+3; （2）
x=-(-2m)/(10/9)=9/5m,时有最小值，（代入（2)式）：-4/5m^2+3
令其为0，4/5m^2=3--->m=√15/2 。