Question

高中数学，第十八题求解

Answer 1

（1）f(x)=lnx+1/30(x-1)，定义域为x>0
f'(x)=1/x-1/30(x-1)^2
=(30x^2-61x+30)/30x(x-1)^2
=(5x-6)(6x-5)/30x(x-1)^2
所以当0<x<5/6或x>6/5时，f'(x)>0，f(x)单调递增
当5/6<x<6/5时，f'(x)<0，f(x)单调递减
（2）f(x)=lnx+a/(x-1)
f'(x)=1/x-a/(x-1)^2
=[x^2-(a+2)x+1]/ax(x-1)^2
△=(a+2)^2-4=a^2+4a，因为a>=1/2，所以△>=9/4
因为[a+2-√(a^2+4a)]/2<1，且根据题意，x>1

当x>[a+2+√(a^2+4a)]/2，f'(x)>0，f(x)单调递增
当1<x<[a+2+√(a^2+4a)]/2时，f'(x)<0，f(x)单调递减
即f{[a+2+√(a^2+4a)]/2}是f(x)在x>1上的最小值
因为f{[a+2+√(a^2+4a)]/2}=ln{[a+2+√(a^2+4a)]/2}+2/[1+√(1+4/a)]
>=ln{[1/2+2+√(1/4+2)]/2}+2/[1+√(1+8)]
=ln(13/4)+1/2
>1
所以lnx+a/(x-1)>1