Question

求问第6题

Answer 1

证：
设f(x)=x³-9x-1
f'(x)=3x²-9
令f'(x)≥0，得3x²-9≥0
x²≥3
x≤-√3或x≥√3
函数f(x)在(-∞，-√3)、(√3，+∞)上单调递增，在(-√3，√3)上单调递减
由于函数在3个区间内各自单调，因此在3个区间内至多各有一个零点。
f(-3)=-27+27-1=-1<0；f(-2)=-8+18-1=9>0
函数在(-3，-2)上单调，在(-3，-2)内有一个实根，则此实根为(-∞，-√3)上唯一实根。
同理，
f(-1)=-1+9-1=7>0；f(0)=0-0-1=-1<0，函数在(-√3，√3)上有唯一实根。
f(3)=27-27-1=-1<0；f(4)=64-36-1=27>0，函数在(√3，+∞)上有唯一实根。
函数f(x)有且只有3个零点，方程x³-9x-1=0恰有3个实根。