Question

高等数学:第一题第一小题怎么做？拍下来，有采纳

Answer 1

y=ux
y'=u'x+u
带入可得到 u'x²+xu-ux-根号(u²x²-x²)=0
那么x>0时 u'x=根号(u²-1)
分离变量 du/根号(u²-1)=dx/x
ln|u+根号(u²-1)|=ln|x|+C[1]
u+根号(u²-1)=Cx
y+根号(y²-x²)=Cx²

那么x<0时是类似的，自行补齐吧

追问

我是先把等式两边同除x^2

然后再算的

请问在哪一步要分情况讨论？

追答

你做的和我的效果是一样的，除以x^2
方程变为 (y/x)'= 根号(y²-x²) /x²
还是变化u=y/x
有 u'= 根号(u²x²-x²) /x²=根号(u²-1) /|x|
关键是将x²从根号中取出来是x还是-x 需要分情况讨论

追问

哪里分情况

追答

就是第一步

追问

小于0的情况为什么我会算错？

追答

追问

又有问题了

缺少c=0的情况！为什么会这样

追答

C=0均需要单独讨论另加上去的

x>0的也是 ，因为你定义的C按ln的定义域不等于0的。

C=0特殊性是在分离变量之前就需要讨论的，我和你均没写。
就是那个根号表达式等于0的情况先说即可

追问

什么意思

你写写看我就知道了

追答

如x>0时到这步
xu'=u+根号(u²-1)
和
分离变量 du/[u+根号(u²-1)]=dx/x
中需要加一步
若u+根号(u²-1)=0 ,那么得到 y+根号(y²-x²)=0 （*）
若u+根号(u²-1)不为0，才能分离变量，否则分母为0是无效的。

(*)式最后是需要和分离变量求出的结果合并的，
它对应就是C=0的情形。分离变量的结果对应是C不等于0的情形