Question

如图第二题求解，谢谢

Answer 1

解：
（2）
原极限
=lim(x→0) [√(1+sinx)-√(1+tanx)]·[√(1+sinx)+√(1+tanx)] / x³·[√(1+sinx)+√(1+tanx)]
=lim(x→0) (1+sinx-1-tanx)/ x³·[√(1+sinx)+√(1+tanx)]
=lim(x→0) (sinx-tanx)/ x³·[√(1+sinx)+√(1+tanx)]
根据等价无穷小：
tanx-sinx~x³/2
原极限
=lim(x→0) -(x³/2) / x³·[√(1+sinx)+√(1+tanx)]
=lim(x→0) (-1/2) / [√(1+sinx)+√(1+tanx)]
=-1/4
(4)
注意到：
sinx·cosx=(1/2)sin2x
因此：
lim(n→∞) cosx/2cosx/2²........cosx/2^n
=lim(n→∞) cosx/2^ncosx/2^(n-1)......cosx/2
=lim(n→∞) (sinx/2^ncosx/2^ncosx/2^(n-1)......cosx/2) / (sinx/2^n)
=lim(n→∞)[(1/2)sinx/2^(n-1)......cosx/2 ]/(sinx/2^n)
=lim(n→∞) [(1/2)^(n-1) sinx/2cox/2] / (sinx/2^n)
=lim(n→∞) sinx /[(2^n)(sinx/2^n)]
根据等价无穷小：
sinx～x
因此：
sin(x/2^n)～(x/2^n) (当n→∞时，(x/2^n)→0)
∴
lim(n→∞) cosx/2cosx/2²........cosx/2^n
=lim(n→∞) sinx/(2^n)(x/2^n)
=sinx/x
原极限
=lim(x→0) sinx/x
=1

Answer 2