Question

求近世代数大神解答第六题，详细点！

Answer 1

第（1）个是矩阵合同关系，
是等价关系。
第（2）个是矩阵置换相似关系，
也是等价关系。

实对称阵合同等价于[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0],其中p,q分别为正负惯性指数.
合同变换保持惯性指数,[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0]给出了实对称阵的合同标准型.
满足p+q ≤ n的有序非负整数对(p,q)共(n+1)+n+...+1+0 = (n+2)(n+1)/2组.
即共有(n+2)(n+1)/2个合同等价类.

实对称阵一定(正交)相似于实对角阵,
而两个对角阵(正交)相似当且仅当特征值完全相同(不计次序).
因此实对称阵的(正交)相似标准型为对角元λ1 ≤ λ2 ≤...≤ λn的实对角阵.
等价类有无穷多个.