Question

高数题目，大神求解

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Answer 1

√cosx-1=exp(ln√cosx)-1~(lncosx)/2 (exp(x)表示e^x ,应用e^x-1~x)
lncosx~cosx-1~-x²/2 (应用ln(x+1)~x)
原极限=lim(x→0) x⁴/8(x²-sin²x) (使用洛必达)
=lim(x→0) 4x³/8(2x-2sinxcosx)
=lim(x→0) x³/2(2x-sin2x) (继续洛必达)
=lim(x→0) 3x²/2(2-2cos2x) (1-cos2x~2x²)
=lim(x→0) 3x²/8x²
=3/8

Answer 2

lim(x->0) [√cosx -1)ln(cosx)/[x^2-(sinx)^2]
=lim(x->0) -(1/8)x^4/ [(1/3)x^4]
=-3/8

x->0
sinx~ x- (1/6)x^3
(sinx)^2 ~ [x- (1/6)x^3]^2
~ x^2 - (1/3)x^4
x^2- (sinx)^2 ~ (1/3)x^4

cosx ~ 1- (1/2)x^2
√cosx ~ 1 - (1/4)x^2
√cosx -1 ~ (1/4)x^2
ln(cosx)~ -(1/2)x^2
(√cosx -1)ln(cosx) ~ -(1/8)x^4

追问

lncosx为什么等于-（1/2）x²

追答

cosx ~ 1-(1/2)x^2
ln(cosx) ~ -(1/2)x^2