Question

求和1+1/（1+2）+1/（1+2+3）+……+1/（1+2+3+……+n）

Answer 1

因为1/(1+2+3...+n)=2/(n*(n+1))
所以对式子裂项相加
Sn=2／2+2／(2*3)+...+2/(n*(n+1))
把2提出来
Sn=2（1／2+1／(2*3)+....+1/(n*(n+1)）
Sn=2(1-1/2+1/2-1/3+......+1/n-1/(n+1))
Sn=2(1-1/(n+1))
Sn=2-2/(n+1) =2n/(n+1)

Answer 2

1＋2＋3＋…＋n=n(n+1)/2
得
1/（1＋2＋3＋…＋n)=2/n(n+1)=2/(1/n
-
1/(n+1))
故
1＋1/（1＋2）＋1/（1＋2＋3）＋……＋1/（1＋2＋3＋…＋n)
=2/(1/1
-
1/(1+1))
+
2/(1/2
-
1/(2+1))+...+2/(1/n
-
1/(n+1))
=2/(1/1
-
1/(n+1))
=2n/(n+1)

Answer 3

1/（1+2+3+……+n）=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1）]

原式=2[1/1-1/2+……+1/n-1/(n+1)]=2n/(n+1)