Question

一道概率问题，急！！

从期望为μ，方差为σ2的总体中，分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，X和Y分别为样本均值，若μ的无偏估计aX+bY的方差最小，求a,b的值各是多少？
（请给出详细过程）

Answer 1

μ的无偏估计为aX+bY
则E(aX+bY)=μ
抽取的容量为n1和n2的两个独立样本。则EX=EY=μ
E(aX+bY)=aEX+bEY=μ
即：a+b=1
μ的无偏估计aX+bY的方差为：
D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY=(a^2+b^2)σ2
因为a+b=1
则由重要不等式：
a^2+b^2>=(a+b)^2/2=1/2
则D(aX+bY)=(a^2+b^2)σ2=σ2/2
此时a=b=1/2.