Question

x→0时limarctanx/x的极限

如题，写出详细过程，有几种解法？
这几天看高数发现好多不会，所以麻烦大家了。。 还有一道题当x→a时lim(sinx-sina)/x-a的极限是多少阿。。
顺便问一下，x→0时lim(sinx/x)=1. 那要是x→0时lim(x/sinx)=多少呢，还是1么？最好写下证明。谢谢了。。

Answer 1

1.x→0时
lim arctanx/x,运用罗必塔法则：
=lim (arctanx)'/x'
=lim[1/(x^2+1)]
=1;

2.x→a时lim(sinx-sina)/(x-a)

lim(sinx-sina)/(x-a)
=lim{2cos[(x+a)/2]*sin[x-a]/2]}/(x-a)
=2cosalim{sin[x-a]/2]}/(x-a)
=cosa*lim{sin[x-a]/2]}/[(x-a)/2]
=cosa*1
=cosa

3.lim(x/sinx)=lim[1/(sinx/x)]
=1/lim[sinx/x]
=1/1
=1.

Answer 2

前面几个极限我也不会了，只记得用L'Hospital法则可以求的吧。。
limf(x)=1,lim[1/f(x)]=1/limf(x)=1,不过这个好像只能算计算过程，严格证明的话还得从定义做起，对于任意epsilon……，那个我就不记得了。。