Question

第24题怎么写啊？

Answer 1

显然，根据对称性

1) 内切球的球心在正多面体的中心上

2) 球的半径分别等于两个距离：

正六面体，考虑上半部分的正四面体, 求底面中心，到一个侧面的距离

正八面体，同样，考虑上半部分的正四棱锥，底面中心，到一个侧面的距离

 

正六面体的：r = OY

OY = AX/3

AX^2 = AE^2 - EX^2

AE = sqrt(3)a/2, EX = AE/3

OY = sqrt(2/3)/3

 

正八面体的：R = OX

OX*SF = SO * OF

SO^2 = SF^2 - OF^2

SF = sqrt(3)a/2, OF = a/2

OX = sqrt(2/3)/2

 

m/n = 2/3

 

以上是一般性计算方法

 

其实你要是注意到 左图中 三角形EAD， 和右图中三角形 SEF, 都是底边长为 a, 腰长 sqrt(3)a/2 的等腰三角形，它们两个全等。他们两腰上的高也都相等。而所求 r, R, 分别是腰上的高的 1/3, 1/2....