Question

高中数学，求解析

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值． （1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2； （2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．答案如下，问第一题最后一步怎么来的？以及第二题解析。

Answer 1

第一问的最后一步：
你可以这样理解，因为M(a,b)>=|1+a+b| 且 M(a,b)>=|1-a+b|,
所以 M(a,b)=[M(a,b)+M(a,b)]/2 大于等于 (|1+a+b|+|1-a+b|)/2，
第二问：
第一步只是为证明绝对值之和可以取到零；
第二步：因为f(x)是单调的，所以取绝对值之后的|f(x)|最大值应该在两个端点取值之一，
M(a,b)=max{|f(-1)|,|f(1)|}
所以将M(a,b)小于等于2，代入，即可得到a+b和a-b的取值范围，进而得到最终结果。

追问

第一问最后一步：
0.5（|1+a+b|+|1-a+b|）≥0.5|（1+a+b）-（1-a+b）|
这里是为什么？

Answer 2

f(x)=ax+b
x∈[-1,1]
a>0 ,f(x)单调递增
最大值=a+b，最小值=-a+b
a>0 ,f(x)单调递减
最大值=-a+b，最小值=a+b
∴M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)
当|a|≥2 时即，a≥2或a≤-2
a≥2，b≥0 时 |a+b|=a+b≥2→M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)≥2
a≥2，b≤0 时 |-a+b|=a-b≥2→M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)≥2
a≤-2，b≤0 时 |a+b|=-a-b≥2→M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)≥2
a≤-2，b≥0 时 |a-b|=b-a≥2→M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)≥2
∴M(a,b)≥2 恒成立

追问

呃，我是想问上面第一问的最后一步怎么来的，不是问你怎么写。。