Question

高等数学级数的问题

1。已知正项级数An收敛（n由0到无穷）。证明,[∑（k=1到n）kAn]/n的极限为0

2证：∑（n=1到无穷）（-1）^n[n开根号]/n 收敛

第2题[]表示取整

Answer 1

1.[∑（k=1到n）kAn]/n中是Ak还是An？

An的话比较简单，因为An收敛，所以∫An（1，+∞）dn=K（常数）
lim n*An = 0（n→+∞）
[∑（k=1到n）kAn]/n= n(n+1)An/n=(n+1)An 极限必然是0

Ak的话,
由柯西收敛原理，对于任意ε>0,恒存在N1>0，对于任意n>N1，P∈N+时，|An+...+An+p|<ε
又恒存在N2>0，对于任意n>N2，P'∈N+时，|nAn+...+(n+p)An+p|/(n+p)<ε
取N1,N2中较大者
则有|nAn+...+(n+p)An+p|/(n+p)<|(n+p)An+...+(n+p)An+p|/(n+p)=|An+...+An+p|<ε,而∑(k∈(1,n-1))kAk/(n+p)<=K/(n+p)<ε
由此，则[∑（k=1到n+p）kAn+p]/(n+p)<2ε,再由ε的任意性，得原式极限为0

2.|(-1)^n[n开根号]/n|<=n^0.5/n=n^(-0.5)

用莱布尼茨那个级数定理，交错级数，绝对值递减趋于0，必然收敛
得证

Answer 2

第一题记得用abel变换可以做(另外括号里是ak吧？)

第二题把相同的项合并，因为|(-1)/n|->0所以两个级数收敛性等价。然后证明每个(-1)的系数正负交替且递减就行了

补充：第一题过程如下：

Sn为部分和，S为和，那么原式等于
(nSn-S1-S2-...-S(n-1))/n=M。
取e>0，那么存在N>0使得n>N=>S-Sn<e。
那么就有M<=(nS-(S1+S2+...+SN)-(n-N-1)*(S-e))/n
当n足够大时，这个式子小于2e，于是M->0。