Question

如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=a，P为底边BC上任一点，过P作PE‖AC交AB于E，PF‖AB交AC于F，

如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=a，P为底边BC上任一点，过P作PE‖AC交AB于E，PF‖AB交AC于F，

(1）求证：PE+PF=a
(2) 若将上述等腰△ABC改为等腰梯形ABCD（如图2），其中AD‖BC，AB=CD，AC与BD交于点O，P为BC边上任一点，PF‖BD交DC于F，PE‖AC交AB于E，设梯形的对角线长为a，则（1）中的结论是否还成立，并说明理由。

Answer 1

1,∵PE‖AC, PF‖AB
∴四边形AFPE是平行四边形
∴PF=AE
又PE‖AC, AB=AC=a
∴∠C=∠EPB, ∠C=∠B
∴∠B=∠EPB
∴BE=PE
∴PE+PF=BE+AE=AB=a

2,结论仍成立
过P点作PH‖CD交BD于H,则四边形PHDF是平行四边形
∴PF=DH
∵等腰梯形ABCD
∴∠ABC=∠BCD,
∵PH‖CD
∴∠BCD=∠BPH
∴∠ABC=∠BPH
又可证△ABC≌△DCB得∠ACB=∠DBC
∵PE‖AC
∴∠BPE=∠ACB
∴∠DBC=∠BPE
∴△BPE≌△PBH
∴PE=BH
∴PE+PF=BH+DH=BD=a

Answer 2

AB=AC=a 所以角B=角c PE‖AC 所以角EPB=角b 所以eb=ep PE‖AC PF‖AB 所以有 平行四边形AEPF 所以fp=ae ae+eb=a 所以PE+PF=a