Question

第15题怎么做

Answer 1

∫ sec³x dx = ∫ secx*sec²x dx
= ∫ secx dtanx,分部积分法,sec²x的积分是tanx
= secx*tanx - ∫ tanx dsecx,分部积分法
= secx*tanx - ∫ tanx*(secx*tanx) dx,secx的导数是secx*tanx
= secx*tanx - ∫ secx(sec²x-1) dx,恒等式1+tan²x = sec²x
= secx*tanx - ∫ sec³x dx + ∫ secx dx,将∫sec³x dx移到等号左边,变为2个∫ sec³x dx
2∫sec³x dx = secx*tanx + ∫ secx*(secx+tanx)/(secx+tanx) dx,上下分别乘以secx+tanx
∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ (secx*tanx+sec²x)/(secx+tanx) dx
= (1/2)secx*tanx + (1/2)∫ d(secx+tanx)/(secx+tanx),等同公式∫ 1/u du,u=secx+tanx
∴∫ sec³x dx = (1/2)secx*tanx + (1/2)ln|secx+tanx| + C
并且有递推公式：
∫ (secx)^n dx
= [sinx*(secx)^(n-1)]/(n-1) + (n-2)/(n-1)*∫ (secx)^(n-2) dx