Question

复变函数:求解释

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Answer 1

不要把概念混淆了。我从下面几个层次对“可导”进行说明。
(1)对t可导：这也是本题的主要含义。
①t是复数。那么就有z(t)=(i-1)t+1是关于复数t的一次函数，属于基本函数之一，所以可导是容易理解的。如果要结合柯西-黎曼方程来判断，可以设t=x+iy，然后设z的实部和虚部分别为u和v，这时可以证明，函数z(t)是满足柯西-黎曼方程的，也就证明了z(t)可导。
②t是实数。这时候t就相当于复变函数自变量中的x。那么y跑去哪里了呢？既然y没有出现，也就说明z(t)只和t的实部有关，而与它的虚部无关。这时候如果设自变量为t+iy，z=u+iv，其中y、u、v都是实数。那么四个偏导数分别为ut=-1，uy=0，vt=i，uy=0.既然u和v对t的偏导数都存在，那么也就意味着对t可导了。
(2)对z可导。一个变量关于自身可导，这恐怕是没有疑问的了。
设z(t)=1-t+it=u+iv，z=x+iy，那么不管t是实数还是虚数，必定有u=x，v=y，所以
ux=1，uy=0，vx=0，vy=1，始终满足柯西-黎曼方程，因此必定关于z可导。
如果有问题欢迎继续追问。