Question

高等数学求极限问题！

是不是在用等价无穷小求函数的极限时，x一定要趋于0或者无穷大呢？
假设求lim(sin3x/tan5x)=?(此时x趋于π)
为什么会有一个负号呢？ 我如果直接用5xsin3x/3xtan5x不行吗？

Answer 1

不一定啊，比如sin(x-1),当x趋于1时sin(x-1)趋于x-1

lim(sin3x/tan5x)=lim(sin3x*cos5x/sin5x)
此时用等价无穷小=lim(3x*cos5x/5x)=lim(3cos5x/5),cos5x在x趋于π时等于-1
所以原式=-3/5

Answer 2

不是
比如说ln（1+x）在x趋近于0等价于x
那lnx,就在x趋近于1时等价于1-x了

-3（x-∏)/5(x-∏)=-3/5

因为x趋近于∏的时候sinx和tanx的符号相反
这是因为sinx的周期不是∏，

Answer 3

要明白等价无穷小是从微观世界直线等价于曲线来的
就是说很短的曲线长度等于直线 不信你自己画个sin弦和直线比比看 是不是角度越小长度越相似
所以趋向无穷大不是作者的本意 所以没有意义

2---趋向于派的时候2个图形一正一反 你自己画画看就明白了 不要局限于算数表达式 要把思维转到具象函数图上去 这样容易搞懂 研究抽象的代数式子没什么意义 要会画函数图像

Answer 4

在利用等价无穷小时一定要利用X趋于0这个条件，没有条件一定要创造条件，你比如sin(x-1)，一般题目会告诉你x趋于1，这时候你就要用一个变量来代换，比如你用变量a=x-1，那么x趋于1不就等价于a趋于0了吗，只有这样你才能利用等价无穷小来替换。
求lim(sin3x/tan5x)，x趋于pi的极限你就不能利用等价无穷小的条件了，因为你怎么做你都构造搬出来自变量趋于0的条件。这时候你只能用罗必达法则了，对分子分母同时求导数，如下：
lim(sin3x/tan5x)
=lim(sin3x*cos5x/sin5x)
=lim[(sin3x*cos5x)'/(sin5x)']
=lim[(3cos3x*cos5x-5sin3x*sin5x)/(5cos5x)](这时候就可以把x=pi带入了)
=-3/5