Question

函数求极限问题

Answer 1

解：

请仔细查看，是否分母没有x²，只是lncosx!

显然，点M也在该切线上，因此：

f(1)=1-1=0

即：

f(1)=0

f'(1)=1

令：1+e^(x²)-e^(t) = u，则：

[-e^(t)]dt=du

dt = du/[-e^(t)]

∫(0,x²) [e^(t)]f[1+e^(x²)-e^(t)]dt

=∫(e^(x²),1) [e^(t)]·f(u)·du/[-e^(t)]

=∫(e^(x²),1) -f(u)·du

=∫(1,e^(x²))f(u)du

原极限

=lim(x→0) ∫(1,e^(x²))f(u)du / x²lncosx

根据等价无穷小，lncosx ～(x²)/2

原极限

=lim(x→0) ∫(1,e^(x²))f(u)du / [x²·(x²)/2]

显然，分子分母连续，则根据罗比达法则：

原极限

=lim(x→0) 2x[e^(x²)]f[e^(x²)] / (2x³)

=lim(x→0) f[e^(x²)] / x²

=lim(x→0) 2x[e^(x²)]f'[e^(x²)]/2x

=lim(x→0) [e^(x²)]f'[e^(x²)]

=f'(1)lim(x→0) [e^(x²)]

=f'(1)

=1