Question

高等数学中值定理证明题～求解

Answer 1

条件说的是，对任何不超过2次的多项式p2(x)，f(x)p2(x)dx在[a,b]上的积分总是0

先考察f(x)的原函数g(x)，要求其满足g(a)=0（直接定义g(x)为f(t)dt在[a,x]上的积分）
那么g(a)=g(b)=0，可得f(x)在(a,b)至少有一个零点
不仅如此，如果能证明g(x)至少有四个不同的零点（包括a,b），那么f(x)就至少有三个不同的零点
用分部积分容易验证，对任何不超过1次的多项式p1(x)，g(x)p1(x)dx在[a,b]上的积分总是0，这就和原先的条件很类似了

然后考察g(x)的原函数h(x)，要求其满足h(a)=0
用分部积分可以验证h(b)=0，所以g(x)在(a,b)至少有一个零点，h(x)在(a,b)至少有两个零点
同样，用分部积分还能验证h(x)在[a,b]的积分为0，所以h(x)在(a,b)至少有一个零点，从而g(x)在(a,b)至少有两个零点，h(x)在(a,b)至少有三个零点

这个步骤虽然看上去有点长，本质上每步都一样，如果条件从二次提高到n次，那么可以用归纳法去证