Question

一道关于定积分的证明题，大家帮忙看一下

Answer 1

（2）、
左端 ＝ ∫｛x＝-π→+π｝ sin(kx) dx
＝1/k * ∫｛x＝-π→+π｝ sin(kx) d (k x) ------ 换元法
＝- 1/k * ∫｛x＝-π→+π｝ d cos(kx)
------ 注意负号： d cost ＝ - sint dt ; 或者 d cos(kx) ＝ - sin(kx) d(kx)
＝- 1/k * cos(kx) | ｛x＝-π→+π｝
= - 1/k * { cos(kπ) - cos(-kπ) } ------ 此处默认K为整数或者利用cosx为偶函数
＝ -1/k * ｛0 - 0 ｝
＝0

注释： 本题目中，积分区域是对称的｛x＝-π→+π｝，并且 被积函数为正弦函数 sinkx，它是一个典型的“奇函数”--------------奇函数 在 对称区间内 的积分 必定为零。

Answer 2

见图片。