Question

不定积分下1/根号下（x^2+a^2）dx

Answer 1

令x=atanu，则u=arctan(x/a)
∫[1/√(x²+a²)]dx
=∫[1/√(a²tan²u+a²)]d(atanu)
=∫cosu·sec²udu
=∫secudu
=ln|secu+tanu| +C
=ln|√(x²+a²)/a +x/a| +C
=ln|[√(x²+a²)+x]/a| +C

Answer 2

可以使用换元法，

详情如图所示，有任何疑惑

欢迎追问

Answer 3

引用xuzhouliuying的回答：
令x=atanu，则u=arctan(x/a)
∫[1/√(x²+a²)]dx
=∫[1/√(a²tan²u+a²)]d(atanu)
=∫cosu·sec²udu
=∫secudu
=ln|secu+tanu| +C
=ln|√(x²+a²)/a +x/a| +C
=ln|[√(x²+a²)+x]/a| +C

令x=atanu，则u=arctan(x/a)
∫[1/√(x²+a²)]dx
=∫[1/√(a²tan²u+a²)]d(atanu)
=∫cosu·sec²udu
=∫secudu
=ln|secu+tanu| +C
=ln|√(x²+a²)/a +x/a| +C
=ln|[√(x²+a²)+x]/a| +C
=ln|[√(x²+a²)+x]| +C（C-lna依然是常数C）