Question

线性代数，第三题第一个求详细

Answer 1

显然A^3有特征值1,1，(-2)^3=-8

且根据Aa=-2a
得知A^3a=-8a
即a也是A^3的特征向量（属于特征值-8）
为构造正交相似矩阵P，让A对角化，可以将a先单位化，得到b=a/√2

A^3与对角阵D=diag(1,1,-8)相似，即存在可逆正交矩阵P（第3列是列向量b），
使得P^TA^3P=D

A^3=PDP^T
则
而D=I+diag(0,0,-9)
则PDP^T=P(I+diag(0,0,-9))P^T=PIP^T+Pdiag(0,0,-9)P^T
=I + Pdiag(0,0,-9)P^T

而Pdiag(0,0,-9)，相当于将矩阵P第3列（列向量b）乘以-9，前两列都变成0，
即等于(-9/√2)*
0 0 1
0 0 1
0 0 -2

此时用此矩阵左乘P^T,相当于将矩阵P^T作如下变换：
第1行、第2行，都变成与第3行相同，
然后第3行元素，乘以-2
也即，(-9/√2) *
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2
/√2

=(-9/2)*
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2

则A^3=PDP^T=I + Pdiag(0,0,-9)P^T
=I+
(-9/2)*
1 0 1
1 0 1
-2 0 -2

=
-7/2 0 -9/2
-9/2 1 -9/2
9 0 10