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解：分享一种利用欧拉公式【e^(ix)=cosx+isinx】的解法。【计算过程中，设c=y-i(ξ-x)，丨c丨>0】
设I1=∫(0,∞)e^(-αy)cosα(ξ-x)dα，I2=∫(0,∞)e^(-αy)sinα(ξ-x)dα，则
I=I1+iI2=∫(0,∞)e^[-αy+iα(ξ-x)]dα=∫(0,∞)e^(-αc)dα=(-1/c)e^(-αc)丨(α=0,∞)=1/c=1/[y-i(ξ-x)]=[y-i(ξ-x)]/[y^2+(ξ-x)^2]，
∴原式=I1=y/[y^2+(ξ-x)^2]。
设I1=∫(0,∞)e^(-αy)cosα(ξ-x)dα，I2=∫(0,∞)e^(-αy)sinα(ξ-x)dα，则
I=I1+iI2=∫(0,∞)e^[-αy+iα(ξ-x)]dα=∫(0,∞)e^(-αc)dα=(-1/c)e^(-αc)丨(α=0,∞)=1/c=1/[y-i(ξ-x)]=[y-i(ξ-x)]/[y^2+(ξ-x)^2]，
∴原式=I1=y/[y^2+(ξ-x)^2]。
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