高等数学习题
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原式 左边 I = (1/2)∫<下0, 上x> f(t^2-x^2)d(t^2)
= (1/2)∫<下0, 上x> f(t^2-x^2)d(t^2-x^2),
令 u = t^2-x^2, t = 0 时 u = -x^2, t = x 时 u = 0,
I = (1/2) ∫<下-x^2, 上0> f(u)du = x^2/(1+x^2) - (1/2)ln(1+x^2)
两边对 x 求导
(1/2)2xf(-x^2) = 2x/(1+x^2)^2 - x/(1+x^2)
f(-x^2) = 2/(1+x^2)^2 - 1/(1+x^2)
f(v) = 2/(1-v)^2 - 1/(1-v) = (1+v)/(1-v)^2
f(x) = (1+x)/(1-x)^2
= (1/2)∫<下0, 上x> f(t^2-x^2)d(t^2-x^2),
令 u = t^2-x^2, t = 0 时 u = -x^2, t = x 时 u = 0,
I = (1/2) ∫<下-x^2, 上0> f(u)du = x^2/(1+x^2) - (1/2)ln(1+x^2)
两边对 x 求导
(1/2)2xf(-x^2) = 2x/(1+x^2)^2 - x/(1+x^2)
f(-x^2) = 2/(1+x^2)^2 - 1/(1+x^2)
f(v) = 2/(1-v)^2 - 1/(1-v) = (1+v)/(1-v)^2
f(x) = (1+x)/(1-x)^2
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